Μαθηματική Επαγωγή - Ποιός την ανακάλυψε;

May 15, 2017

Το παρόν άρθρο ασχολείται με την ιστορία της μαθηματικής επαγωγής. Απαιτεί γνώσεις φοιτητών ΑΕΙ, ΤΕΙ ή ΕΑΠ πρώτου έτους, που έχουν γνώση της έννοιας της επαγωγής. Το ιστορικό κομμάτι βέβαια μπορεί να διαβαστεί από όλους.

 

Η Μαθηματική Επαγωγή είναι μια τεχνική που χρησιμοποιείται για την απόδειξη ισχυρισμών σε καλά διατεταγμένα σύνολα (δηλαδή σύνολα των οποίων όλα τα μη κενά υποσύνολα έχουν ένα ελάχιστο στοιχείο). Αποτελεί μια μορφή ευθείας απόδειξης, που συνήθως χρησιμοποιείται για την απόδειξη προτάσεων με φυσικούς αριθμούς. Η λογική της τεχνικής μπορεί να περιγραφεί παραστατικά μέσω του παιχνιδιού Dominoes: Αν τοποθετήσουμε τα πλακίδια του Dominoes (εικόνα 1) έτσι ώστε αν πέσει ένα τότε να πέσει και το επόμενο, τότε είναι προφανές ότι αν ρίξουμε το πρώτο πλακίδιο, θα πέσουν διαδοχικά όλα τα πλακίδια.

 

 

Η πατρότητα της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής απασχολεί την ιστορική έρευνα εδώ και αιώνες. ΄Εχουν διατυπωθεί διάφορες θεωρίες και απόψεις που πολλές φορές είναι επηρεασμένες από τις προσωπικές επιθυμίες των ερευνητών. Οι περισσότεροι πάντως θεωρούν τον Γάλλο Blaise Pascal ως τον πρώτο μαθηματικό που διατύπωσε τη μαθηματική επαγωγή με σαφή και συστηματικό ορισμό. Ιστορικά, η άποψη αυτή επικρατούσε κατά τον 19ο αιώνα μέχρι και τις αρχές του 20ου αιώνα.

 

Το 1909 δημοσιεύθηκε ένα άρθρο τριών σελίδων στο γνωστό περιοδικό Bulletin of the American Mathematical Society του Ιταλού μαθηματικού George Vacca (σύνδεσμος), ο οποίος υποστήριζε ότι ο πρώτος μαθηματικός που χρησιμοποίησε την επαγωγή συστηματικά ήταν ο Ιταλός βενεδικτίνος μοναχός Francesco Maurolico (Φραγκίσκος Μαυρόλυκος). Το άρθρο του έκανε μεγάλη εντύπωση στην μαθηματική κοινότητα της εποχής και η υπόθεσή του έγινε δεκτή από τους πολλούς χωρίς αμφισβήτηση. Μάλιστα έγινε γνωστό ότι ο Pascal αναφέρθηκε στο έργο του Μαυρόλυκου (σε ιδέες σχετικές με την επαγωγή), σε μια επιστολή του στον Carcavi. Το σχόλιο του Pascal αφορά την απόδειξη της πρότασης ότι το διπλάσιο του n-οστού τριγωνικού αριθμού μείον το n ισούται με n^2. Σε αυτό το σημείο ο Pascal αναφέρει ότι η απόδειξη της σχέσης είναι εύκολη κατά τον Μαυρόλυκο, δείχνοντας έτσι ότι μάλλον γνώριζε το έργο του. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Μαυρόλυκος (1494-1575) ήταν ελληνικής καταγωγής μαθηματικός που είχε εντρυφήσει στη μελέτη της ελληνικής γραμματείας και βοήθησε ιδιαίτερα στην απορρόφηση αυτών των γνώσεων στη Δύση. Η οικογένειά του μετακόμισε από την Κωνσταντινούπολη μετά την πτώση της Πόλης (1453) και εγκαταστάθηκε στη Μεσσήνη της Σικελίας. Ο G. Vacca υποστήριζε πως ο Μαυρόλυκος στο έργο του “Arithmeticorum libri duo”, που γράφτηκε το 1557 και δημοσιεύθηκε το 1575, έκανε συστηματική χρήση μιας μεθόδου που μοιάζει πολύ με την μαθηματική επαγωγή. Για παράδειγμα, ο Μαυρόλυκος χρησιμοποίησε τη μέθοδο για να αποδείξει ότι το άθροισμα των n πρώτων περιττών αριθμών είναι ίσο με n^2.

 

Μερικές δεκαετίες αργότερα (1953) ο Ολλανδός μαθηματικός (γερμανικής καταγωγής) Hans Freudenthal μελέτησε το εν λόγω βιβλίο του Μαυρόλυκου και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι όντως σε μερικά σημεία του βιβλίου φαίνεται πως χρησιμοποιείται μια διαδικασία παρόμοια με τη μαθηματική επαγωγή. Παρόλα αυτά, ο Freudenthal υποστηρίζει ότι η μαθηματική επαγωγή δεν ορίζεται συστηματικά και με ακριβή τρόπο από τον Μαυρόλυκο. Αντίθετα θεώρησε ότι (όπως οι περισσότεροι πίστευαν πριν το 1909) ο Pascal πρέπει να αναφέρεται ως ο πατέρας της μαθηματικής επαγωγής, επειδή ήταν ο πρώτος που όρισε τη διαδικασία με αυστηρότητα και τη χρησιμοποίησε με συστηματικό τρόπο. Φαίνεται ότι ο Freudenthal πίστευε πως ο Μαυρόλυκος δεν είχε ξεκάθαρη εικόνα της μαθηματικής επαγωγής, αλλά ότι ο Pascal συνέχισε και τελειοποίησε το δικό του έργο. Την ίδια άποψη διατύπωσε και ο Kokiti Hara, ο οποίος επίσης θεωρεί ότι ο Pascal πρέπει να θεωρείται ως ο πρώτος που πραγματικά κατάλαβε και χρησιμοποίησε την επαγωγή. ΄Αλλοι ερευνητές εντόπισαν δείγματα μαθηματικής επαγωγής σε παλαιότερα έργα όπως αυτό του ραββίνου Levi ben Gerson (1288-1344) ή των Αράβων μαθηματικών al-Karaji (953-1029) και al-Samaw’al (1130-1180). Είναι όμως κοινά αποδεκτό ότι οι πρώτες αναφορές σε ιδέες που σχετίζονται με τη μαθηματική επαγωγή γίνονται στο έργο του Ευκλείδη και στον Παρμενίδη του Πλάτωνα. ΄Ισως αυτά τα έργα να ήταν πηγή έμπνευσης για τον Μαυρόλυκο (που ξέρουμε ότι τα γνώριζε) και τους υπολοίπους.

Share on Facebook
Share on Twitter
Please reload

Featured Posts

Εφαρμογή για την μέθοδο Gauss (Application)

July 8, 2018

1/10
Please reload

Recent Posts
Please reload

Archive