Καρδιοειδής Καμπύλη: Κατασκευή και εξισώσεις
Α. Κατασκευή.
Ας θεωρήσουμε έναν σταθερό κύκλο ακτίνας α. Η καρδιοειδής καμπύλη προκύπτει από την κίνηση ενός σημείου Α που βρίσκεται στην περιφέρεια ενός άλλου κύκλου ακτίνας α που "κυλάει" γύρω από τον σταθερό κύκλο.
Σε αυτό το σύνδεσμο μπορείτε να δείτε την κατασκευή της καμπύλης μέσω του γνωστού λογισμικού Geogebra. Παραθέτουμε και ένα video της εν λόγω κατασκευής:
Β. Παραμετρικές Εξισώσεις
Για να απλοποιήσουμε το πρόβλημα κάνουμε τις εξής παραδοχές: Καταρχάς, θεωρούμε ότι ο σταθερός κύκλος έχεις κέντρο με συντεταγμένες Κ(-α, 0). Η αρχική θέση του κέντρου του κύκλου που "κυλίεται" γύρω από τον σταθερό κύκλο είναι Κ'(α,0). Θα μελετήσουμε την κίνηση που κάνει το σημείο Α (που αρχικά είναι το σημείο επαφής των δύο κύκλων) καθώς ο δεύτερος κύκλος κυλάει γύρω από τον πρώτο κατά την ορθή φορά (αριστερόστροφα). το κέντρο του δεύτερου κύκλου (που κυλίεται) το ονομάζουμε Λ (επομένως αρχικά Λ=Κ').
Ας υποθέσουμε επομένως ότι μετά από λίγο ο κύκλος έχει περιστραφεί κατά γωνία φ (προς τα αριστερά) γύρω από το σημείο Κ καθώς επίσης ότι το σημείο Α έχει περιστραφεί (προς τα αριστερά και αυτό) κατά γωνία φ γύρω από το νέο κέντρο του του κυλιόμενου κύκλου.
Θα χρησιμοποιήσουμε τη μιγαδική αναπαράσταση για να ορίσουμε σημεία στο επίπεδο. Πιο συγκεκριμένα θεωρούμε τους παρακάτω μετασχηματισμούς:
Π1: Περιστροφή σημείου κατά γωνία φ γύρω από το κέντρο Κ(-α,0).
Π2: Περιστροφή σημείου κατά γωνία φ γύρω από το κέντρο Κ'(α,0).
Οι μιγαδικές αναπαραστάσεις των δύο μετασχηματισμών θα είναι:
Η μιγαδική αναπαράσταση του σημείου Α θα είναι η σύνθεση των παραπάνω μετασχηματισμών για το (αρχικό σημείο) (0,0). Θα έχουμε επομένως:
Από την τελευταία εξίσωση προκύπτουν οι παραμετρικές εξισώσεις της καρδιοειδούς, δηλαδή:
και
για φ μεταξύ του 0 και του 2π.
Γ. Εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες
Προσθέτωντας τα τετράγωνα των παραμετρικών εξισώσεων παρατηρούμε ότι:
Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι:
που είναι η εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες της καρδιοειδούς.
Τονίζουμε ότι αν το σημείο Α έχει προκύψει από την περιστροφή και κύλιση του αρχικού κύκλου κατά γωνία φ, τότε η γωνία θέσης του Α είναι επίσης φ (σε πολικές συντεταγμένες). Αυτό προκύπτει εύκολα, αν παρατηρήσει κανείς ότι το ΚΛΑΟ είναι ισοσκελές τραπέζιο (δείτε το παραπάνω σχήμα).
