Καρδιοειδής Καμπύλη: Υπολογισμός μήκους και εμβαδού
Συνεχίζοντας την μελέτη της καρδιοειδούς καμπύλης, σε αυτό το άρθρο θα δείξουμε πως μπορεί να υπολογιστεί το μήκος της καμπύλης καθώς επίσης και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείει η καμπύλη.
Α. Μήκος Καμπύλης
Από τις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης μπορούμε εύκολα να δούμε ότι το διάνυσμα θέσης ως προς τη γωνία φ θα δίνεται από τη σχέση:
Επόμενως για την παράγωγο θα έχουμε:
Έτσι, το μέτρο της παραγώγου θα είναι ίσο με:
Επομένως,
Όπως είναι γνωστό, το μήκος μιας καμπύλης δίνεται από το ολοκλήρωμα:
Στους παραπάνω υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τον τύπο αποτετραγωνισμού του ημιτόνου:
Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει τον τύπο
όπου
η εξίσωση της καμπύλης σε πολικές συντεταγμένες. Ο παραπάνω τύπος δίνει τελικά ένα παρόμοιο ολοκλήρωμα:
B. Περικλειόμενο εμβαδόν
