Καρδιοειδής Καμπύλη: Μερικές βασικές ιδιότητες
Ολοκληρώνοντας τα άρθρα για την καρδιοειδή καμπύλη, θα παρουσιάσουμε δύο πολύ βασικές ιδιότητές της.
Α. Χορδές της Καρδιοειδούς
"Κάθε χορδή της καρδιοειδούς που διέρχεται από το οξύ της άκρο έχει μήκος 4α."
Θεωρούμε τη χορδή ΑΒ (δείτε το σχήμα) της καρδιοειδούς που διέρχεται από το οξύ άκρο Ο. Τότε, χρησιμοποιώντας την εξίσωση της καρδιοειδούς σε πολικές συντεταγμένες, μπορούμε να δούμε ότι:
Επομένως,
B. Μέσα των χορδών της Καρδιοειδούς
"Τα μέσα των χορδών που διέρχονται από το οξύ άκρο της καρδιοειδούς ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Κ(-α,0) και ακτίνα α."
Ας υποθέσουμε ότι το Α βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο (και το Β στο 4ο τετ.). Επίσης, ονομάζουμε θ τη γωνία ΟΚΜ. Καταρχάς παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΟΚΜ είναι ισοσκελές και επομένως, η γωνία θ μπορεί να υπολογιστεί από το άθροισμα των γωνιών του ΟΚΜ:
(π-φ) + θ + (π-φ) = π, δηλαδή θ = 2φ - π.
Στην περίπτωση που το σημείο Α είναι κάτω από τον άξονα y (συγκεκριμένα στο 3ο τεταρτημόριο και άρα το Β είναι στο πρώτο τεταρτημόριο) μπορούμε με όμοιο τρόπο να δείξουμε ότι θ = 2φ - π και πάλι.
Επομένως, αφού το σημείο Μ προκύπτει από στροφή του Ο κατά γωνία θ ως προς το Κ, θα έχουμε:
Η παραπάνω σχέση προέκυψε από την πολική εξίσωση της καρδιοειδούς χρησιμοποιώντας την μιγαδική αναπαράσταση των σημείων του επιπέδου. Οι συντεταγμένες για τα σημεία Α και Β θα είναι αντίστοιχα:
Επομένως το μέσον των Α και Β θα είναι ίσο με:
Αποδείξαμε λοιπόν ότι το μέσον του ΑΒ έχει την ίδια μιγαδική αναπαράσταση με το σημείο τομής της ΑΒ με τον σταθερό κύκλο με κέντρο Κ.
